Equations of phase-locked loops: Dynamics on the circle, by Jacek Kudrewicz, Stefan Wasowicz

By Jacek Kudrewicz, Stefan Wasowicz

Phase-Locked Loops (PLLs) are digital platforms that may be used as a synchronized oscillator, a driving force or multiplier of frequency, a modulator or demodulator and as an amplifier of part modulated signs. This publication updates the tools utilized in the research of PLLs via drawing at the effects received within the final forty years. Many are released for the 1st time in booklet shape. Nonlinear and deterministic mathematical versions of continuous-time and discrete-time PLLs are thought of and their uncomplicated houses are given within the type of theorems with rigorous proofs. The e-book indicates very attractive dynamics, and exhibits numerous actual phenomena saw in synchronized oscillators defined by means of whole (not averaged) equations of PLLs. specifically chosen mathematical instruments are used the speculation of differential equations on a torus, the phase-plane images on a cyclinder, a perturbation thought (Melnikov s theorem on heteroclinic trajectories), indispensable manifolds, iterations of one-dimensional maps of a circle and two-dimensional maps of a cylinder. utilizing those instruments, the houses of PLLs, specifically the areas of synchronization are defined. Emphasis is on bifurcations of varied varieties of periodic and chaotic oscillations. unusual attractors within the dynamics of PLLs are thought of, resembling these stumbled on by means of RГѓВ¶ssler, Henon, Lorenz, may perhaps, Chua and others.

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1 Modellieren ~ 43 Anwendung von Mathematik Ein mathematisches Modell ist eine Darstellung eines Sachverhaltes, auf die mathematische Methoden angewandt werden können, um ein mathematisches Resultat zu erhalten. (Zais & Grund, 1991, S. 7) Entsprechung Ein mathematisches Modell ist jede vollständige und konsistente Menge von mathematischen Strukturen, die darauf ausgelegt ist, einem anderen Gebilde, nämlich seinem Prototyp, zu entsprechen. Dieser Prototyp kann ein physikalisches, biologisches, soziales, psychologisches oder konzeptionelles Gebilde sein, vielleicht sogar ein anderes mathematisches Modell.

Beispiel Komplexaufgabe In einer Klasse sind 13 Mädchen und 19 Jungen. Immer zwei Kinder sitzen an einem Tisch. Wie viele Tische muss der Hausmeister in die Klasse stellen? Die Struktur dieser Komplexaufgabe kann mit Hilfe eines Diagramms veranschaulicht werden (s. Abb. 10). Zu dieser gegebenen Struktur gibt es viele andere Sachaufgaben. Ebenso hat die folgende Aufgabe ein identisches Strukturdiagramm. 32 ~ 2 Entwicklung des Sachrechnens Abb. 10 Struktur einer einfachen Komplexaufgabe (Fricke, 1987, S.

3). Er stellt in gewisser Weise ein Standardmodell des Modellbildens für den Unterricht dar. Hier wird für das Erstellen des mathematischen Modells noch ein Zwischenschritt eingefügt. Vergleichbar mit dem Container-Problem (s. Abb. 2) wird hier die Vereinfachung in der Realität, das Reale Modell, noch als eigener Schritt betrachtet. Dieses Modell wird beispielsweise von Henn (Henn, 1995, S. 56), Humenberger und Reichel (Humenberger & Reichel, 1995, S. 35), Kaiser (Kaiser, 194, S. 5), Maaß (Maaß K.

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