Diskrete Mathematik: Eine Entdeckungsreise by Professor Dr. Jiří Matoušek, Professor Dr. Jaroslav Nešetřil

By Professor Dr. Jiří Matoušek, Professor Dr. Jaroslav Nešetřil (auth.)

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Wir zeigen den Schritt von no auf no + 1 mit einem Schlag für alle natürlichen Zahlen no. Die Annahme, dass die zu beweisende Aussage für irgend einen Wert n = no schon gilt, nennt man die Induktionsannahme. 1 Hilfssatz. Es sei X eine Menge natürlicher Zahlen mit den folgenden beiden Eigenschaften: (i) Die Zahl 1 gehört zu X. (ii) Ist eine natürliche Zahl n Element von X, dann ist auch n Element von X. ) Dann enthält X alle natürlichen Zahlen (X = +1 N). In Anwendungen dieses Schemas ist X die Menge aller Zahlen n, für welche die Aussage A(n), die gerade bewiesen werden soll, wahr ist.

A) Sei q i- 0 eine ganze Zahl. Wir definieren eine Relation =q auf Z, indem wir x =q y setzen, wenn q ein Teiler von x - y ist. Prüfen Sie, dass =q eine Kongruenzrelation ist. (b) *Beweisen Sie, dass jede Kongruenzrelation auf Z entweder von der Form =q ist (für irgendein q) oder die Gleichheitsrelation {(x, x): xE Z}. (c) Wenn wir die Bedingung "a + x '" a + y" in der Definition einer Kongruenzrelation durch "ax '" ay" ersetzen würden, wäre die Behauptung (a) dann immer noch wahr? *Und wie stünde es um die Behauptung in (b)?

Das ist aber ein Widerspruch zu unserer Annahme oben. (iii) Dieser Teil gilt, weil die Äquivalenzklassen die Relation R wie folgt bestimmen: xRy genau dann wenn {x,y} ~ R[x]. h. dass sie paarweise disjunkte Teilmengen von X sind und dass ihre Vereinigung X ist. Umgekehrt bestimmt jede Partition von X eine eindeutige Äquivalenzrelation auf X. Das bedeutet, es gibt eine bijektive Abbildung zwischen der Menge der Äquivalenzrelationen auf X und der Menge aller Partitionen von X. Deshalb kann man eine Äquivalenzrelation durch die zugehörige Partition darstellen - wie im Bild oben.

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