Differential- und Integralrechnung III: Integrationstheorie by Hans Grauert, Ingo Lieb (auth.)

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Zu gegebe- nem 8> 0 wählen wir eine 8-Umgebung ~[h, g] von I und stellen sofort fest, daß h+, g+, 1+ den Voraussetzungen des vorigen Satzes genügen: Es ist h+ ;;;; 1+ ;;;; g+, h+ und g+ sind nach Hilfssatz 4 integrierbar, und man hat wegen g+ - h+ ;;;; g - h f g+ dp, - f h+ dp, ;;;; f g dp, - f h dp, ;;;; 8. Demnach ist 1+ integrierbar. 1 angegebenen Regeln folgert man nun, daß mit h und 12 auch die Funktionen max (/1, 12) und min(h, 12) integrierbar sind. 5 für beliebige (nicht notwendig positive) Radonsche Maße gelten.

Da auf I nach der obigen Bemerkung T = t und T = ist, gilt sie voraussetzungsgemäß dort; trivialerweise ist sie auf R - I auch erfüllt. (a) = min (0, t(a» i(a)=max(O,t(a» > < h(a), g(a), wegen h(a) < 0, wegen g(a»O, und für b die entsprechende Beziehung. Nun ergibt sich IA - L'*(t) 1 = IA - L'(T) 1 < e, und daher A b) Jetzt werde angenommen, f • • = ffdx. I sei endlich integrierbar, mit A=ffdx. I Wieder darf f(a) = f(b) = 0 vorausgesetzt werden. Zunächst wählen wir zu gegebenem e > 0 eine Umgebung ~ = ~[h, g] der Nullfunktion über R mit 1L:(t) 1 < ; für alle t EE~.

Zunächst wählen wir zu gegebenem e > 0 eine Umgebung ~ = ~[h, g] der Nullfunktion über R mit 1L:(t) 1 < ; für alle t EE~. Ferner sei ~* = U[h*, g*] eine Umgebung von f über I, so daß für jedes tE %* mit t EE ~* gilt: 1L'*(t) - AI< ; . 4 Grauert/Lieb III 5O Integration im n-dimensionalen Raum. f(a,b) für xE(a,b), {h(X) A h(x) = h*(x) = {g(X) g*(x) erklärten Funktionen auf R sind sicher halbstetig, wenn wir noch durch Multiplikation von h und g mit einer geeigneten sehr kleinen positiven Konstanten die Ungleichungen h*(a) ~ h(a) h*(b) ~ h(b) < 0 < g(a) ~ g*(a), < 0 < g(b) < g*(b) herstellen (dabei müssen h und g noch als reelle Funktionen gewählt werden).

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