Differential- und Integralrechnung für Funktionen mit einer by Doz. Dr. Ernst-Adam Pforr, Prof. Dr. Winfried Schirotzek

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H. 1). h I' . "I . 1 . Soma kann man nach der EXlstenz des Grenzwertes lIm A/(x ,h) 0 fragen. h Weiter unten werden wir belegen, daB Grenzwerte dieser Art eine groBe praktische Bedeutung haben. Sie erhalten daher einen besonderen Namen und eine einpragsame Bezeichnung. h .... 1 Die (aul einer Umgebung von Xo E R definierte) Funktion I heifit and e r S tell e Xo d iff ere n z i e r bar, wenn der Grenzwert J'(xo):= lim Af(xo,h) = lim/(xo+h)-I(xo) h .... O h h .... 1) existiert. Dieser Grenzwert heifit A b 1 e i tun g der Funktion I an der Stelle xo.

G und formen ihn geeignet um: I(xo + h) . g (xo + h) - I(xo) • g (xo) = --------~~-------h = FUr h ~ I(xo +h) -/(xo) g =lim A(j· g)(x ,h) h 0 h~O =I'(xo>' g(xo) +/(xo)' g'(xo>, also die Produktregel. Die ubrigen Formeln beweist man analog. Die Produktregel HiSt sich auf eine beliebig endliche Anzahl von Faktoren erweitem.

IX == 0 == JO, %.... so daB die Funktion I an der Stelle xo=O rechtsseitig stetig ist. Folglich ist die Funktion I(x) dem Intervall [0, +00) stetig. 1 Man untersuche die folgenden Funktionen auf (einseitige) Stetigkeit an der Stelle Xo. ), * XSlD_ fUrx 0} Xu = o. 2 Unstetigkeitsstellen nnd ihre Klassifikation 1st die Funktion I (mindestens) auf einer punktierten Umgebung der Stelle Xo definiert, aber an dieser Stelle nieht stetig, dann heiBt Xo Unstetigkeitsstelle von f. Aus der Definition der Stetigkeit ergibt sieh, daB fUr jede Unstetigkeitsstelle Xo von / genau einer der folgenden zwei Falle vorliegt.

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