Anschauliche kombinatorische Topologie by V. G. Boltjanskij, V. A. Efremovič (auth.)

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47. Man zeige, daB jede einfach geschlossene Kurve auf der Sphiire diese in zwei Gebiete teilt. 48. In der Ebene seien k Polygonziige gegeben, die aile zwei fest vorgegebene Punkte p und q verbinden. Man zeige: Haben je zwei der Polygonziige nur die Punkte p und q gemeinsam, so wird die Ebene durch sie in k Gebiete geteilt. Wir wei sen (ohne Beweis) darauf hin, daB zwei beliebige einfach geschlossene Kurven 11 und 12 in der Ebene zueinander isotop sind, d. , es existiert ein Homoomorphismus der Ebene auf sich, der 11 in 12 iiberftihrt.

Deshalb geben wir jetzt eine innere Definition fUr die Einseitigkeit einer Flache. Es wird jedem Punkt a, der kein Randpunkt ist, eine kleine Kreislinie zugeordnet, die urn diesen Punkt herumfUhrt. Auf ihr wird durch pfeile eine Richtung festgelegt, die dem Uhrzeigersinn entgegengesetzt ist, wenn man den Kreis yom Ende einer aus a herausgefUhrten Normalen betrachtet (Abb. 53a). Wird der Punkt a bewegt, so verandert sich gemeinsam mit ihm die Normale und ebenso die Kreislinie mit der auf ihr festgelegten Richtung.

32 Wir kommen jetzt zum Beweis des 10rdanschen Kurvensatzes. Hierbei beschranken wir uns auf den Fall, daB 1 nicht eine beliebige einfach geschlossene Kurve in der Ebene ist, sondem ein einfach geschlossener Polygonzug. Es seien bp b2 , ••• ,bn in dieser Reihenfolge die Kanten des Polygonzuges I. Wir wahlen zwei Punkte p und q', die symmetrisch zur Kante b1 liegen. Vom Punkt p aus zeichnen wir eine Strecke, die parallel zur Kante b1 bis zum Schnittpunkt der Winkelhalbierenden zwischen den Kanten b1 und b2 verlauft (Abb.

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