Algebraische Geometrie: Eine Einführung by Markus Brodmann

By Markus Brodmann

Diese Einführung in die algebraische Geometrie richtet sich an Studierende mittlere und höhere Semester. Vorausgesetzt werden lediglich die im ersten Studienjahr erworbenen Grundkenntnisse. Ausgehend von den affinen Hyperflächen werden beliebige affine und schliesslich projektive Varietäten untersucht. Die benötigte Algebra wird dabei laufend entwickelt. Schwerpunkte des Buches sind die Dimensions- und Morphismentheorie, die Multiplizitätstheorie sowie der Gradbegriff. Zahlreiche Beispiele sollen dem Leser helfen, sich über die konkrete Bedeutung des Stoffes klarzuwerden.

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19) lio(lm) = lip(J· Lm) = Ii. Also konnen wir das Nullstellen system von 1m jeweils schreiben als (0, ... , 0, (X/1+ I, m' ... , (Xdm,m), mit (X/1+ I, m' ~ /1 39 4. Tangentialkegel und Grad ... , rJ.. ,,+, m I 0. m (sm-P) zu setzen. r' m-+O r «(ii) => (i)>> : Sei S E L - {P} und sei I s. m -+ 00 Wir behalten die obigen Bezeichnungen bei und miissen zeigen, dass flo (I) > fl. 17) gilt flo (/), flo(lm)~fl. Wir konnen also schreiben flz)=zl'g(z), Im(z)=zl' gm(z) mit geeigneten Polynomen g, gm E C[z].

1). Die Aussage (iv) (a) bedeutet, dass X in Richtung von L ins Unendliche geht. Also konnen wir sagen: (v) Die Richtungen, in den en X nicht vollstandig ist, sind die Richtungen, in denen X ins Unendliche geht. 19) Beispiel:f=z~+z~-zj+ 1, X= V(f)~C3. Offenbar ist 0 die einzige Nullstelle der 3 partiellen Ableitungen 'Of. 'OZi 50 I. Affine Hyperfiachen Deshalb istf quadratfrei, Grad (X) = 2 und Sing (X) =0. f(2) =zi+z~-zD) ist der Kegel der Richtungen, in denen X nicht vollstandig ist. Mit Xj = re (z) erhalten wir im Reellen die nebenstehende Veranschaulichung.

Wir setzen Xi = re(z), Yi = im(z), U= I, 2). Fur den reellen Teil X ~ von X erhalten wir eine Kurve der skizzierten Gestalt, auf der 0 dem Augenschein nach singular sein konnte. 28 I. Affine Hyperflachen In der Tat gilt of = 3 zt, of = - 2z2 • Die einzige gemeinsame Nullstelle dieser oZJ OZ2 beiden partiellen Ableitungen ist der Punkt o. 8): (i) Sing (X) = {O}, Jlo(X) = 2. Urn X zu verstehen, fiihren wir eine Abbildung qJ: C ~ C2 ein, definiert durch Z ~ (Z2, Z3). Offenbar ist dann qJ(C) ~ X. Weiter ist qJ stetig.

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